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发表于 2009-3-21 10:31:02
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RE:呵呵，一点点课件，很有用 啊！
第2章 传输线理论
2.1引 言
传输线理论是从电路的观点出发,对传输线上电磁波的波动现象进行简化的分析,即将传输线看作分布参数电路,求解沿线电压电流或等效电压和电流的变化,与下一章规则波导中导波理论相比较,它只关心的是电压波电流波沿纵向(轴向)的传输,保留了电磁波波动的主要特征，而不考虑横向(垂直于传输线的截面)上场的分布,因此是一种”化场为路”的等效电路的方法,它在微波工程设计中是一种非常有效的方法。本章首先介绍了传输线方程及其解、描写传输线的壮态参量和工作状态，然后重点讨论了工程上很实用的圆图以及它的应用，最后介绍了传输线的阻抗匹配概念和运用。
在学习传输线理论之前，必须建立两个基本概念，其一是“长线”的概念。所谓长线是指传输线的几何长度与该传输线上所传输的电磁波的波长可相比拟，或者还要长，反之则为短线。应注意，这个“长”与“短”的概念是一个相对的概念，它是相对于电磁波的波长而言的。例如20公里长的输电线相对与f=50HZ、波长为6000公里的市电来说，不能算是长线，只能视为短线；而工作于X波段的微波信号，其标称波长为3cm，一段长仅为10cm的微波传输线却是地地道道的长线。为了分析和计算方便，引入“电长度”这个概念来描述。它定义为传输线的几何长度与工作波长的比值（记为 ），若 ，则称为长线；若 ＜1，则称为短线。在微波波段，波长较短，一般多为长线，所以传输线理论又称为“长线理论”。其二是“分布参数”的概念。分布参数是相对于集总参数而言的。在低频电路中，常出现的集总参数有电容、电感和电阻，认为电场能量全部集中在电容器之中；磁场能量全部集中在电感之中；只有电阻才消耗能量；而连接各元件用的导线（传输线）则认为是理想导线，常忽略分布效应，导线上的电压和电流是不随时空而变化的常数。可是一旦频率上升到了微波波段以后，就必须计入传输线上的分布参数效应。这是由于趋肤效应，当电流流过导体表面的时候，产生热效应，从而构成了沿线的分布参数效应；另外，导线周围存在有高频磁场，两线间存在着高频电场，电磁场也是沿线分布的，随之形成了分布电感和分布电容的概念。由于上述分布参数的存在导致传输线上各处的阻抗和导纳值不一样，因而各处的电压和电流值也不相同了，换言之，微波传输线上的电压和电流是随时空而发生变化的，这是区别于低频导线的一个显著的特点。
图2-1视出了一段均匀传输线及其分布参数电路。图中，R1、L1分别表示传输线单位长度上串联的分布电阻和分布电感；G1、C1分别为传输线单位长度上并联的分布电导和分布电容。
2.2 传输线方程及其解
图2-1示出了连结始端能源（信号源）与终端负载之间的一段均匀传输线的等效电路模型。设传输线纵向z轴由负载指向信号源，坐标原点选在终端负载处。为了推导传输线方程，先来具体分析线上dz微分段上电压和电流之间的关系。设传输线单位长度的串联阻抗Z1和并联导纳Y1分别为
(2.1a)
(2.1b)
由图2-1可以求得串联阻抗 上的电压降 为
（2.2a）
类似地,流过并联导纳上 的电流 为
(2.2b)
式(2.2)可改写成一阶微分方程的形式,通常又称为传输线方程或电报方程
(2.3a)
(2.3b)
对式(2.3a)再求导,并将式(2.3b)代入,得
(2.4a)
同样的方法,可得到电流I的二阶微分方程
(2.4b)
式(2.4)为均匀传输线上电压和电流满足的波动方程。
式中：
称为传输线上电压波和电流波的传播常数，它反映了电磁波在传输线上传输时幅度及相位的变化。 ，其中 是单位长度上的衰减，称为衰减常数； 是单位长度上的相移，称为相移常数。对无损传输线，即 ，则 （ ），此时 。
由 = ，比较此式两边复数的实部和虚部相等，可得
（2.5a）
(2.5b)
式（2.4）是一组标准的二阶常微分方程,它描写了传输线上电压波和电流波沿线的分布规律,其通解为
(2.6a)
(2.6b)
式中A、B、C、D为待定复常数，可由始端或终端的电压和电流值确定。
由式（2.3a）和(2.6a)可得
(2.7)
式中 为特性阻抗,它和传播常数一样,是表征传输线特性的基本参量。对于理想传输线，因 。
如果对于式（2.6a）和式(2.7)中的各项分别用入射波和反射波的电压与电流符号 、 来表示,则这两式又可改写成下面的形式
(2.8a)
(2.8b)
式中 ,它们分别表示电压和电流的入射波和反射波。
改写以后，特性阻抗可表示为
（2.9）
由此可见，特性阻抗又可定义为传输线中入射波电压与电流之比，或者反射波电压与电流之比的负值。
式（2.8）表明,传输线上任意一点的电压和电流均是由两个以相反方向传输的行波组成,一个由信号源向负载端传输的波,称为”入射波”,另一个是由负载端向信号源传输的波,称为”反射波”。根据前面我们规定的坐标方向，所以第一项为入射波，第二项为反射波。
下面利用终端条件，来确定式（2.8）中待定常数A和B,从而得到所谓”终端方程”。若已知负载端处（ ），V（0）=VL；I（0）=IL,将它们代入式(2.8)中,可得
联立求解上两式得到
将A、B代回式(2.8),经整理后可得到如下方程
(2.10a)
(2.10b)
对于无损传输线,传播常数 ,则上式可改写为
(2.11a)
(2.11b)
上式即为终端方程,已知终端的电压和电流值后,利用此式便可求得沿线各处的电压和电流分布。以下我们将重点讨论无损传输线,因此传输线方程解的表达式可写为
(2.12a)
(2.12b)
2.3 传输线的状态参量
当传输线终端接有不同的负载时,线上就会产生不一样的反射,因此,就会影响到沿线的电压和电流的分布情况,即传输线工作在不同的状态,为了描写这些状态,很有必要介绍状态参量。微波中常用的参量有：输入阻抗（或输入导纳）、反射系数以及驻波系数（或行波系数）和驻波相位，这三套参量中的任意一套都可以单独来描写状态，根据不同的使用场合可选用其中的一套。本节还介绍了三套参量之间的相互转换关系。
1. 输入阻抗
传输线的输入阻抗Zi定义为某一截面上的总电压V（z）与总电流I（z）之比，它的倒数为相应的输入导纳Yi，即
（2.13）
将式(2.11)中两式代入上式,可以得到它们与端接负载阻抗(或负载导纳)之间的关系如下
(2.14a)
(2.14b)
式中Zc和ZL分别为传输线的特性阻抗和终端负载,ZL亦可理解为z=0处的输入阻抗。上面两式也可看成传输线上相隔距离为z的两个截面之间的输入阻抗（或导纳）之变换公式。传输线上某处的输入阻抗可以理解为从该处向负载看进去的阻抗，亦即为该处的阻抗。由于式（2.14）中的 是周期函数,所以传输线上的阻抗呈现周期变化的特性,下面介绍一下在微波工程上经常遇到的几种特殊情况的输入阻抗表示式。
(1) 半波长线阻抗的重复性
传输线上相隔半波长两处的输入阻抗相等的这一特性,称为半波长线阻抗的重复性。令式（2.14a）中的 ,并注意 ,不难看出这些点的输入阻抗都相等,即Zi=ZL,如果参考面不选在负载处,则结论亦成立,可写成: ,换句话说,阻抗的周期为半个波长。
（2）四分之一波长线阻抗的变换性
传输线上相距四分之一波长两处输入阻抗的乘积等于常数 的这一特性，称为四分之一波长线阻抗的变换性。令 代入式(2.14a)中,可得到距离终端负载为四分之一波长奇数倍的传输线上各处的输入阻抗 ,即四分之一波长线具有阻抗变换作用。若参考面选在任意z处，则结论也正确，可表达为： 。
进一步，如果引入归一化阻抗的概念（即相对于Zc的阻抗值），则z处的归一化阻抗为 ，而（ ）处的归一化阻抗应为 ，由此可以看出传输线上相隔 的两处之间，其归一化输入阻抗是互为倒数的。微波工程上常利用该特性可将一容性阻抗经 线变换成感性阻抗，或反之；同时这一特性在微波电路的阻抗匹配中也有着广泛的应用。
（3）三种特殊情况下输入阻抗沿线的分布
①终端短路线
将ZL=0代入式（2.14a）,可得离终端短路为z处的输入阻抗
(2.15a)
(2.15b)
式(2.15)表明,当传输线终端短路时,其输入阻抗是一个随电长度而周期性变化的纯电抗。特别当线长在 范围内的终端短路线，它始端的输入阻抗相当于一个电感；在 处，短路线的输入阻抗变为无穷大，等效于一个理想的并联谐振回路；而当线长在 范围内的端接短路线，它始端又相当于一个电容；当 处，短路线的输入阻抗恢复为零，此时等效为理想的串联谐振回路，如图2-2所示。这些特性非常重要，它们在微波电路的设计中应用相当普遍。
② 终端开路线
将ZL=∞代入式（2.14a）,可得到距终端开路为z处的输入阻抗 (2.16a)
(2.16b)
由上式可见,终端开路的传输线沿线的输入阻抗也是随电长度而周期性变化的纯电抗,它的变化规律与终端短路时的情况类似,不过沿线的分布错开了 的距离,这里就不再累赘了。同终端短路一样，终端开路线的诸多特性在微波电路中得到了广泛的应用。
③
这种情况相当于终端所接的负载阻抗等于传输线的特性阻抗，其相应的归一化负载阻抗 ，将 代入式（2.14a）,可得到沿线各处的输入阻抗都相等,而且都等于特性阻抗,即 ,下面会看到,这时传输线上不存在反射,即无反射的情况,此时从信号源通过传输线传输到负载的功率将全部被负载所吸收,从电路的角度,称为”匹配”,该负载又称作”匹配负载”。
2．反射系数
在微波工程和微波测量中，反射系数是一个最基本的、具有明确物理意义且可以进行直接测量的物理量。传输线上某处的反射系数定义为该处的反射波电压与入射波电压之比，用 来表示，即
（2.17）
由式(2.12)可知,无损均匀传输线上入射波电压和反射波电压分别为
式中 分别为A、B的幅角。
上两式代入式（2.17）中,则
(2.18)
即反射系数的模为
(2.19a)
幅角为
(2.19b)
由上式可看出,反射系数 不仅反映了入射波与反射波之间振幅的差异,同时也反映出了它们之间的相位差。若将参考面选在负载（z=0）处，便可得到终端负载反射系数
（2.20a）
(2.20b)
比较式(2.19)和(2.20)可见,在无损传输线中任意截面上的反射系数 两者之间可表达成如下的关系
(2.21a)
(2.21b)
由式(2.21)可见,无损传输线上各处反射系数的模值是不变的,只是幅角 随离负载的距离而发生变化,这是无损传输线的一个重要特征。
引入反射系数后，沿线电压和电流的表达式（2.8）可改写成
(2.22a)
(2.22b)
由于输入阻抗和反射系数均是描写传输线状态的参量,所以两者之间必然有联系,可以相互转换。将式（2.22）代入式(2.13)可得
(2.23)
上式亦可转化成将 用 来表示的形式
(2.24)
式中 为特性导纳。
上两式表示的是传输线上某一截面处输入阻抗与其反射系数之间的相互转换公式，对于负载处而言， 相互转换关系如下
（2.25）
(2.26)
3.驻波系数和行波系数
正如前述,传输线上存在反射波时,沿线的总电压和总电流是入射波和反射波的矢量迭加,在线上某处,若入射波和反射波同相,则该处电压的幅度达到最大值;反之,若在另一处,如果入射波和反射波两者反相,则此处的电压幅值就会下降到最小值;而在传输线的其它地方,电压幅值介于最大和最小之间。可见传输线上电压幅度沿线是周期性地变化的，若线上反射系数的模值越大，则电压幅值最大与最小之差就越大，波的起伏也就越大。为了衡量线上电压波的起伏程度（实质上还是衡量线上反射的程度），我们引入驻波和行波系数的概念。
传输线上电压驻波系数 定义为电压最大值 与电压最小值 之比,即
(2.27)
因
将上式代入式（2.27）,并利用 可得
(2.28a)
或 (2.28b)
式(2.28)是传输线上驻波系数和反射系数模相互间的转换关系。对于无源负载反射系数的模取值范围是 ，因此电压驻波系数的变化范围为 。当负载与传输线匹配时 ，即不存在波的反射时， ；当波被负载全部反射时，即严重失配时， ，可见驻波系数 反映了传输线与终端负载之间的匹配优劣情况。
注意上述驻波系数仅表示了线上电压波（或电流波）的幅度信息，并没有包涵其相位的信息，因此还必须引入电压驻波相位的概念才能完整地描写传输线的工作状态。
电压驻波相位 等于从参考面向信号源方向移动到最近的一个电压最小值所在处的距离，如果取负载 处为參考面，则相应的电压驻波相位记为
下面导出其表达式，由式（2.12a）
则有
当 时,
或满足条件 时,传输线上各处的电压都为最小值。如果考虑到下面两个约束条件： ，
则满足上式的n取值只有两个值，即n=0，-1，然后代回可得
（2.29）
上式即是参考面选在负载z=0处的驻波相位 与负载处反射系数的相角 的对应关系。当选取其它参考面时，式（2.29）也应成立,即满足下式
, (2.30)
驻波系数的的倒数为行波系数K,即
或 (2.31)
显然 ,对于无损传输线, 、K与坐标无关，仅与负载反射系数的模值有关。 、K的值越接近1越好，在微波工程上，一般情况下， ，K>0.8可基本上认为微波电路已匹配好了。
2.4 传输线的工作状态
传输线的工作状态是指终端接不同负载时，沿线电压与电流的分布状况，一般可分为三种不同的工作状态：端接无反射负载（匹配负载）时的行波状态；端接全反射负载（终端短路、终端开路和端接纯电抗负载）时的纯驻波状态以及部分被反射（不匹配负载）时的行驻波状态。
1.行波状态
当终端负载ZL等于传输线特性阻抗Zc时,这时线上的反射系数 ,线上不存在反射波,只有信号源向负载传输的入射单向行波,这种工作状态称为行波状态。
此时，传输线的驻波系数和行波系数都等于1( ),且线上各处的输入阻抗都等于特性阻抗（ ）。这时，传输线上的电压和电流分别为
（2.32a）
(2.32b)
将以上两式分别乘以 因子,求它虚部可得到行波电压电流的瞬时值
(2.33a)
(2.33b)
其时空变化规律如图2-3（b）所示。
沿线行波电压、电流的振幅分布可对式（2.32）取复数的模值,则
(2.34a)
(2.34b)
由此可见,在行波状态时,电压和电流的幅值沿线都一样,为一常数,如图2-2(c)所示。行波状态时，负载吸收的功率为
（2.35）
上式表明,信号源馈送到传输线的能量,全部被负载所吸收。这一点在实际工作中相当重要，往往希望传输线工作于行波状态即ZL=Zc的匹配状态 ，但由于终接负载的任意性，大多数情况下是做不到的，要想实现匹配，就必须采用一定的方法和措施，这一过程称为传输线的阻抗匹配，将在本章的最后两节加以介绍。
2. 纯驻波状态
当终接负载短路、开路以及纯电抗时，由于 ，入射到负载的功率全部被反射，负载不吸收入射的功率，这种状态称作纯驻波状态。此时，传输线上的驻波系数 ，行波系数K=0，沿线电压与电流分布处于纯驻波状态（其电压和电流的最小值为零）。下面从全反射角度出发，证明上述三种情况下的 。
将式(2.26)求模
亦即
因无损传输线的 为实数,上式要成立的话,则有 , ,或 三种情况,即传输线终端短路、开路和接纯电抗负载时会产生全反射。下面以终端短路为例加以讨论。
终端短路时，由于ZL=0，此时 ，且 ，将其代入式（2.11）的终端方程中,则可得到终端短路时沿线电压和电流的分布为
(2.36a)
(2.36b)
其瞬时分布为
(2.37a)
(2.37b)
式中 ,图2-4(b)示出了终端短路时的电压电流沿线的分布。
从式（2.37）和图2-4可看出:
（1） 电压和电流在空间的z方向上有900(四分之一波长)的相位差;而在时间上亦有900(四分之一周期)的相差,也就是说,某一时刻沿线电压达最大值处,电流必为零值;反之,电流达最大值处,电压必为零,这些最大值和零值在线上的位置是固定不变的,分别称为波腹点和波节点,即电压波和电流波是不会随着时间和空间向前推进的,而是作正弦变化,原地上下振动,所以称其为”驻波”。这种特性是由于两个向相反方向传播的且振幅相等的行波相互迭加的结果。
（2） 这种纯驻波状态沿线是不能传输能量的。
（3） 沿线的输入阻抗为纯电抗，这在前面输入阻抗中已作过介绍。
（4） 电压和电流的幅值分布可通过对式（2.36）取模求得
(2.38a)
(2.38b)
其沿线分布如图2-4(c)所示。由上式可知，在z=0以及离终端满足下式的位置时电压恒为零，即上述提到过的电压波节点的位置。
（n=0，1，2，……） （2.39a）
而在距终端符合下式条件的线上各处时,电压恒为最大值,即前面已介绍过的电压波腹点的位置。
（n=0，1，2，……） (2.39b)
电流波沿线分布亦具有一系列的波节与波腹，但其位置与电压波错开 的距离，即电流的波节点恰好为电压的波腹点，反之亦然。
根据类似的分析，终端开路线上电压和电流的分布也是纯驻波分布，也只能储藏能量而不能传输能量，与终端短路相比，此时终端为电压波腹电流的波节，且沿线电压和电流的驻波分布相对终端短路而言对应地错开了 的距离。当终接纯电抗时，负载不消耗能量，仍然产生全反射，与上面两种不同的是终端既不是波腹也不是波节。
3．行驻波状态
在大多数情况下，如果负载吸收一部分的入射波功率，而其余部分被反射回去，这就形成了行驻波状态。下面将会看到,该状态可视为行波之上迭加一个驻波而成的混波状态,所以有的书上把它又称为”混波状态”,它使介于行波和纯驻波之间的中间状态，或者说，行波和纯驻波是它的两个特例。设负载阻抗为任意的一个复阻抗，即 ，由式（2.26）,则终端反射系数为
由此可得
从上式可看出：行驻波状态的状态参量 ， ， 。
由式（2.21）和(2.22)可得到行驻波状态下沿线电压、电流的分布形式
（2.40a）
(2.40b)
由上两式可得到启发:行驻波状态的电压和电流沿线分布均由两部分组成,前一
项表示行波分量,其坐标与z无关;后一项代表驻波分量,其振幅随空间坐标z按余弦变化。因此，行驻波状态可以看成行波和驻波两者的迭加而成。
由式（2.40）行驻波状态沿线电压和电流的幅值
(2.41a)
(2.41b)
式中 分别表示入射波电压、入射波电流的振幅值， 为 的幅角。图2-5分别画出了行驻波状态下沿线电压、电流振幅的分布。
从图2-5和式（2.41）可以看出,沿线电压和电流振幅的分布也具有一系列交错排列的最大值和最小值,但与前面的纯驻波状态下振幅分布不同的是此时沿线呈非正弦周期性的变化,且电压振幅的最大值和最小值不再为 和零,由式(2.41)可得到行驻波状态下最大值和最小值的表达式。
(1)当 （n=0，±1，±2，……）时，式（2.41）中 ,由此可求得电压振幅的最大值和电流振幅的最小值
(2.42a)
(2.42b)
这两个值分别对应于电压波腹处(或电流的波节处)的相应的电压(或电流)的值。它们在线上的位置有下式给出
(n=0,±1,±2,……) (2.42c)
(2)当 （n=0，±1，±2，……）时，式（2.41）中 ,由此可求得电压振幅的最小值和电流振幅的最大值
(2.43a)
(2.43b)
这两个值分别对应于电压波节处(或电流的波腹处)的相应的电压(或电流)的值。它们在线上的位置有下式给出
(n=0,±1,±2,……) (2.43c)
上式中若代入n=0或n=-1,则可得到离终端负载最近的电压最小值(即电压波节点)的位置,即前面介绍过的”驻波相位”式(2.29)。（下式中“±”号的取舍以得到较小的 值）。
(2.43d)
2.5 相速和相波长
前面我们已经介绍了传输线的两个基本参数,即传输线的特性阻抗Zc和传输线的传播常数 ,现在再介绍第三个参数,这就是本节要介绍的相速和相波长。
1． 相速
相速定义为沿一个方向传播的行波（入射波或反射波）其等相位面移动的速度，以 表示。实际上描写了电磁波在传输线上传播时，其振荡相位向前推进的速度，通常人们把它说成为电磁波在传输线上的传播速度。
由上述定义首先对单向行波（电压和电流反射波）进行研究。由式(2.12a)可知,电压和电流反射波的复数表达式为
式中 为B的幅角。上式乘以 因子，取其虚部即得到电压和电流反射波的瞬时值
（2.44a）
(2.44b)
上两式看出,电压和电流反射波的相位取决于 。由相速的定义，可令
并对t求导
由此，可得到反射波相速为
（2.45a）
同理,入射波相速为
(2.45b)
式(2.45b)中负号表示入射波沿着规定的坐标轴（负载指向信号源）的反方向即由信号源指向负载的方向传播。
由式（2-45）看出，传输线上行波的相速 与相移常数 有关，而相移常数与工作频率是否有关，将取决于微波传输线上的工作波型，因此相速可能与频率有关，也可能与频率无关，这将在第3章中作介绍。
对于无耗均匀长线, ,此式代入式(2.45a),可得到
(2.46a)
因无耗传输线的特性阻抗 ，所以式（2.46 a）又可改写为
(2.46b)
下面以同轴线为例，求出其相速的具体表达式。
设同轴线为无耗的均匀传输线，则由电磁场理论可知，同轴线单位长度上的分布电感和电容分别为
，
式中d、D分别为同轴线内外导体的直径； 为内外导体间填充介质的磁导率和介电常数，通常又可写为
式中 分别为介质的相对磁导率和相对介电常数； 分别为真空的磁导率和介电常数，且
，
将上面的这些数值代回到相速的表达式，则有
(2.47)
式中c为光速， ，对于非铁磁介质 。
上式表明，同轴线上电压和电流行波的相速等于电磁波在介质中的传播速度，且与频率无关，只决定于介质的特性常数 。从第3章将看到，这是因为同轴线内传输的工作波型是横电磁波（简写为TEM波），它是一种无色散波，所以相速与频率无关。这一结论对任何能传输TEM波微波传输系统都是成立的。若同轴线中无介质填充，则 。
2.相波长
相波长指在一个周期内行波的等相面移动的距离,即
(2.48a)
或
(2.48b)
式中 ,是传输线上电磁波的工作波长。显然,式（2.48b）的物理意义是很清楚的。因为电磁波在传输线上移动一个相波长,其相位改变了 ,由相移常数的定义,便能得到上式。
对于同轴线，将式(2.47)代入式(2.48a),可得
(2.49)
式中 为电磁波在自由空间的波长。
2.6 圆图及其应用
圆图,又称史密斯(Smith)圆图是用图解的方法计算传输线状态参量(输入阻抗、反射系数、驻波系数和驻波相位)的一种简捷而有直观的方法，同时又是微波工程中实现阻抗匹配的有效工具。在科技发达的今天，人们将圆图显示在计算机屏幕上，当微波测量时能够快速地显示出阻抗或导纳随频率变化的轨迹，调配微波器件非常方便。因此，掌握圆图的使用要点显得尤为重要。本节先简要介绍一下圆图的建立，然后着重介绍圆图的使用方法和应用。
1. 阻抗圆图的建立
由前述,传输线上任一参考面的输入阻抗与该处的反射系数有一一对应的关系,即式(2.23),为了通用起见,不妨令 ,并将阻抗Z相对于传输线的特性阻抗Zc归一化,则归一化阻抗可表示为
(2.50)
由式(2.24)可得
(2.51)
设 , 代入式(2.51)中得到
对上式分式部分先进行分母有理化,然后将实部和虚部分开,且令等式两边对应的实部和虚部相等,可得
; (2.52)
先后消去上式两个式子中的 ,就可得到在反射系数复平面上以 为参变量的两组正交圆簇的参数方程,即
(2.53a)
(2.53b)
若令式(2.53a)中的 等于一系列常数,就可画出所谓“等电阻圆”,其圆心在 处,半径为 ;再令式(2.53b)中的 等于一系列常数,就可画出所谓“等电抗圆”,其圆心在 处,半径为 。将这两簇圆位于 单位圆内部分地画出，就构成了如图2-6所示的阻抗圆图。
2． 阻抗圆图的特点
（1） 所有等电阻圆的圆心都位于实轴 上，且圆心的横坐标与半径之和恒等于1，等电阻圆簇相切于（1，0）处。 值愈大，则圆愈小；当 时，对应的圆缩成实轴上的右端点（1，0）；反之， 值愈小，则圆愈大；当 时，对应的圆为单位圆。
（2）所有等电抗圆的圆心横坐标均为1，其纵坐标与半径 相等，电抗圆簇亦相切于实轴上的（1，0）处。 值愈大，则圆愈小；当 时，对应的圆缩成实轴上的右端点（1，0）；反之， 值愈小，则圆愈大；当 时，对应圆半径为∞，单位圆的实轴即为无穷大等电抗圆上的一段弧。 的等电抗圆分别与虚轴 相交于（0，1）点和（0，-1）点。 的等电抗圆位于上半平面第一、第二象限； 。
（3）阻抗圆图上的一些特殊的点、线、面的物理意义见图2-7所示。下面作些说明。
① 匹配点，即阻抗圆图的中心点。中心点的 ，对应于传输线工作在行波状态，因此代表“匹配状态”。
② 纯电抗圆、开路点和短路点。 的单位圆为纯电抗圆，此时 ，对应的负载不吸收有功功率，传输线处于纯驻波状态。其中纯电抗圆与正实轴的交点为开路点，对应 ；纯电抗圆与负实轴的交点为短路点，对应
③ 纯电阻线是 ,即对应单位圆上的实轴。由式（2.52）可得
, (2.54)
因此反射系数 为一实数。若 ,则 ,也就是 位于正实轴上,此时说明入射波与反射波同相,也就是意味着正实轴上的点均对应于电压最大值,称为“最大电压线 线”,其对应的归一化阻抗
（2.55a）
当 ,则 此时说明入射波与反射波反相,也就是意味着负实轴上的点均对应于电压最小值,称为“最小电压线 线”,其对应的归一化阻抗
(2.55b)
由式(2.55)可知,正实轴(即 线)上的归一化电阻值 在数值上等于相应的驻波系数 ;而负实轴(即 线)上的归一化电阻值 在数值上等于相应的驻波系数的倒数 (或等于相应的行波系数K)。另外，由于负实轴上的点对应于电压最小值，因此可把 线作为圆图上计算驻波相位 的基准。圆图上任意点所对应的驻波相位应该是通过该点的矢径顺时针方向（即向能源方向）转到与 线重合时，所需要转过的电长度。顺便提醒一下，在传输线上参考面若朝负载方向移动，则圆图的转向为逆时针；反之，向信号源方向移动，圆图的转向应为顺时针。
④ 感性与容性半圆。阻抗圆图的上半圆 ，对应于感抗，称为“感性半圆”；下半圆 ，为容抗，称为“容性半圆”。两半圆的分界线为实轴即为纯电阻线。
⒊ 导纳圆图
由归一化导纳与反射系数之间的关系，可以将阻抗圆图改成导纳圆图来使用。导纳圆图在分析和设计微波并联电路时，是比较方便的。
根据归一化导纳的定义
(2.56)
式中 为归一化电导, 为归一化电纳。
利用归一化导纳与归一化阻抗之间的倒置关系,并考虑到式（2.50）,可得
(2.57)
或 (2.58)
为便于比较,我们把归一化阻抗与反射系数相互关系式(2.50)、（2.51）重写于此
(2.50)
(2.51)
比较上面四个式子,不难发现: 完全相同,因此在 复平面上画出的等 ,与在 平面上画出的 应该完全一样。注意到 ，因此要实施变换 ，就是让反射系数 在圆图上旋转1800，如图2-8所示，如阻抗圆图上的a点，其对应的阻抗为 ，在导纳圆图上的对应点为b点，对应导纳为 。 两者以匹配点为中心互相对称，即 两者的矢径相同（在同一等 圆上即等 圆上）。这样一来，同一张圆图既可看作阻抗圆图，又可以看成导纳圆图了。一般说来，在处理沿线变化的串联微波电路的阻抗问题时，使用阻抗圆图计算较方便；若处理并联电路，则宜用导纳圆图来计算。但应注意在圆图上进行 变换时，虽然图上所标注的数字均保持不变，其含义却不同了， 。
当实施 变换后，显然导纳圆图上的一些点、线、面的物理含义要作相应的改变。结合下图2-9简要说明如下：匹配点不变， ；纯电阻线变为纯电导线； ；开路点与短路点位置互换；电阻圆变为电导圆，电抗圆变为电纳圆； ，即正实轴为电压最小线，而负实轴为电压最大线；上半圆 ，为容性半圆，下半圆 ，为感性半圆。
⒋ 实用圆图及其应用
实用的圆图如图2-10所示。下面作一说明：
（1）圆图最外圈上的数是用电长度表示的参考面在传输线上移动的距离，由于阻抗具有半波长周期性，因此一圈总的电长度为0.5,起点位于阻抗圆图的短路处,经一周后再返回起点。
（2）反射系数 的相位标註在最外圈的内侧，其变化范围为00～±1800，阻抗圆图的开路处为00；一般圆图上并没有标註出反射系数的模 ，可通过匹配点 和纯电抗圆（即大圆）上 这两个极端值，来确定中间的 值，即采用插入法按比例求得具体的数值。
（3）圆图上用箭头註明了顺时针旋转表示向始端信号源（或波源）方向移动；逆时针旋转则表示向负载端方向移动。
（4） 值标註在纯电阻线上，开路端为∞，短路端为0，匹配点为1； 值标註在 大圆的内侧等 。
下面给出两个圆图的应用实例。
【例2.1】已知无耗同轴线特性阻抗 ，工作波长 ，终端负载电压反射系数 。求
(1) 同轴线中的驻波系数；
(2) 电压波腹和波节处的阻抗 ；
(3) 终端负载阻抗 ；
(4) 靠近负载第一个电压波腹及波节点离负载的距离。
解 (1)因同轴线是无耗传输线，所以
驻波系数为
亦可在阻抗圆图上直接求得（参见图2-11），具体步骤是这样： 以圆图的中心为圆心，取单位圆长度的五分之一（即0.2）为半径作一个圆(即等 圆),它与正实轴的交点 ,即
(2)上面等 圆与单位圆正实轴和负实轴的两个交点的数值分别为归一化的电压波腹和波节处阻抗值,对应图中的A点和C点
而阻抗值 R（波腹）=50×1.5=75
R (波节) =
(3)由已知 ,可知 ,将其换算成相对的电长度变化量
然后从正实轴沿逆时针旋转0.07电长度至位于大圆上的0.18处,把该点和中心点连结成一矢径,则这矢径与正实轴间的夹角就是 ,且矢径与等 圆的交点B即是负载在圆图上的位置,即
(4) 由B点沿等反射系数圆顺时针转到A点变化的长度对应于第一个电压波腹点到终端负载的距离,记为 ,则
由B点沿等反射系数圆顺时针转到C点变化的长度对应于第一个电压波节点到终端负载的距离,记为 ,则
【例2.2】已知归一化负载阻抗 ,采用并联短路分支线实现匹配,如图2-12所示。求分支线的位置 。
解 首先在阻抗圆图上确定 的位置，如图2-13中的a点。本题因是并联问题，宜采用导纳圆图来求解。为此，以中心匹配点为圆心，该点到a点的长度为半径画一个等反射系数圆，在圆上找到a点相对于匹配点的对称点 ，由图查得 ，即为终端负载的导纳。设分支线位于图2-12的参考面T处,离负载距离为 。所谓匹配，即从参考面 向负载看入的(包括匹配用的并联分支线)归一化导纳 ,又设并联短路分支线长为 ，它在参考面T处产生归一化输入导纳 ，那么从参考面 向负载看入的（不包含并联分支线）归一化导纳 ，因此它必落在 电导圆上，对应图2-13中的 点。下面的问题就比较简单了，只需负载 向信号源移动 距离到达T参考面的导纳值落在 的电导圆上的b’点，然后再用短路分支线抵消b点的电纳部分，匹配就完成了，即到达了中心匹配点的位置。上述的调配过程在导纳圆图上体现为
中心匹配点。具体计算数据如下
， ，所以短路线必须提供+j1.6的电纳与-j1.6相抵消。+j1.6短路线的长度可从导纳圆图查出,经纯电导圆的右端点(对应于导纳圆图上的短路点)顺时针旋转至单位圆与 的交点,其长度为
由图2-13可看出,还可以通过另一条调配途径实现匹配,即 ,由导纳圆图计算结果如下: , 。
2.7 传输线的阻抗匹配
阻抗匹配是微波电路中一个非常重要的概念。一个匹配好的微波系统，能使传输线的工作状态接近于行波状态，系统内部器件间的反射很小，因此提高了传输的效率，保证了功率容量，保证了微波系统工作的稳定性。阻抗匹配通常包含两方面的意义：一个是信号源与传输线之间的匹配，要解决的问题是如何从信号源获取最大的功率；另一个是负载与传输线的匹配，解决的问题是如何消除负载的反射，为此需要利用匹配器。下面加以讨论。
⒈信号源与传输线的匹配
(1) 共轭匹配
共轭匹配又称功率匹配,指在传输线某一参考面上向负载看入的输入阻抗 与电源内阻抗 互为共轭关系(见图2-14),即
(2.52)
式中 为传输线的输入阻抗, 为信号源的内阻。当两者共轭匹配时，满足下式
， (2.53)
在满足上式的共轭匹配条件以后，可以证明信号源输出功率达最大，且在其它参考面也能满足共轭匹配条件。
(2) 匹配信号源
如果信号源的内阻抗与传输线的特性阻抗相等,即
(2.54)
我们把这种与传输线相匹配的信号源称为“匹配信号源”。此时，传输线的始端对信号源的输出不产生反射，由于无耗传输线的特性阻抗为实数，若负载阻抗与传输线亦匹配的话（ ，在这种特殊的情况下，考虑到传输线各处的输入阻抗均等于特性阻抗[ ]，可得
由此可得到一个重要的结论：匹配源在负载匹配时输出的最大功率将全部被负载所吸收。一般情况下，实际微波系统不会这样理想的，往往在微波源后面加接一个隔离器（又称单向器）或去耦衰减器，构成一个等效匹配源，基本上能消除源的二次反射。有关隔离器或去耦衰减器属于微波器件，将在第5章作介绍。
2. 负载与传输线的匹配
正如前述,当 时,传输线工作于行波状态,即人们常说的“匹配状态”，此时，负载吸收全部的入射功率。反之， 时，线上存在驻波，有反射现象，传输线处于“失配状态”，就会影响传输的效率，严重时还会造成微波系统工作的不稳定。因此解决负载的阻抗匹配问题非常重要。通常在传输线和负载之间加入一个调配器（即匹配网络），使其产生一个新的反射波，用来抵消负载的反射。如果在调配器的前端平面上向负载看去的归一化输入阻抗 ，则可认为阻抗已匹配好了。例如前节中的单并联可变电纳调配器(例2.2)就是个典型例子。除此之外，本节还将介绍另外几种形式的调配器。
(1) 阻抗变换器
阻抗变换器是调配器中较为简单而又常用的一种,它利用了传输线理论中一段 线段具有阻抗变换的原理构成的。若负载阻抗为纯电阻 ，传输线的特性阻抗为 且 ，则可在传输线和负载之间插入一段长为 特性阻抗为 (通常是待求的)的传输线段,使得在参考面T的输入阻抗与主传输线的特性阻抗相等(见图2-15所示),即 ,然后利用 ,可得
由此可求得
(2.55)
当选取合适的 的值,使其满足上式,就可在主传输线上实现匹配。
下面对 阻抗变换器作进一步的研究
① 上述的阻抗变换器虽然是在负载为纯电阻性条件下推出的，但是也适用于负载为复阻抗时的情况。这时只需将 阻抗变换器接入在输入阻抗为实数的参考面上，而不接在终端为复阻抗负载的 上，而这些实数参考面就是前面介绍过的电压驻波波腹和波节点的位置。因在这些位置上输入阻抗为纯电阻，它们分别为 ， 。我们可将 阻抗变换器接入离负载最近的驻波波节（即驻波相位 处），该处的纯电阻输入阻抗值可作为等效的负载阻抗来处理。余下的调配过程就和前述的一样了。
② 上述的 阻抗变换器，显然工作频带是很窄的，因为它只能在某一特定的频率（即对应某一确定的波长）下才能实现真正意义上的阻抗匹配。为了展宽频带，可采用多级阶梯式的四分之一波长变换器进行调配，每一级的长度都等于四分之一中心工作波长，而各级的特性阻抗是渐变的，由于变换级数的增多，随之阻抗突变面的数目亦增加，参与抵消作用的反射波数目也相应地增多，这就意味着有可能在许多个频率点上使总反射系数为零，结果拓宽了工作频带。级数愈多，效果愈明显。
(2)双并联可变电纳调配器
双并联可变电纳调配器的电路示于图2-16。设有一负载导纳，通过两个相距为 （亦可相距 ）的并联电纳（例如终端短路线）进行调配，为了便于说明调配过程，首先从左往右分析，然后再从右向左分析。
先从左往右分析如下：若要匹配，则从 参考面的左边向负载看入的归一化导纳 ，设位于 参考面处的并联短路分支线提供一个归一化输入电纳为
，以抵消从 参考面的右边向负载看入的归一化导纳 中的电纳部分，所以 在阻抗圆图上必然位于 的单位电导圆上；由参考面 向负载方向移动 便可得到从 参考面的左边向负载看入的归一化导纳 ，这一过程在圆图上的体现为：将 圆逆时针旋转电长度 距离，变为图2-17中的Q圆，Q圆称为单位电导圆的“反演圆”，因而 必落在反演圆上。有了上面的分析，调配起来就比较容易了。
设从 面右方向右看的归一化负载导纳 位于导纳圆图的a点，见图2-17。（注意， 并不是一回事，两者相距负载到位于 处的并联短路分支线的距离），首先调节 处的并联短路分支线的电纳值 ，使 的对应点b恰好落在反演圆上（ ，b点是通过a点的等 与反演圆的交点。然后将参考面从 ，相应的输入导纳从 ，对应点从反演上的b点移到 圆上的c点，即在圆图上顺时针旋转了900，c点所对应的 即为从 参考面右方向右看的输入导纳，考虑到它在 圆上，所以 ，最后通过调节 处并联导纳的值，使之与 等值异号，这时从 参考面左方向右看的总输入导纳 ，它对应为中心匹配点的位置，实现了匹配。
由上面的分析可知，要实现匹配的关键问题是等 与反演圆必须存在有交点，结合图2-17会看到若 所对应的a点如果落在 的圆内阴影区内，则等 圆与反演圆没有交点，则就无法改变 ，使 的对应点b恰好落在反演圆上，因而也就无法对这种负载进行匹配。我们把 圆内的阴影区称为“匹配盲区”，又叫“死区”。死区的存在限制了双并联电纳调配器的应用范围，为此下面再介绍三并联电纳调配器。
(3)三并联可变电纳调配器
为了消除匹配盲区,在双并联电纳调配器上再增加一个并联短路支线,从而构成了三并联可变电纳调配器,如图2.18。
这种调配器能克服双并联电纳调配器的缺点，可消除盲区。道理很简单，若从 面左方向右看的输入导纳在圆图上的对应点落在死区内，则经过长度为 的均匀传输线变换到 面的右方后，此时的输入阻抗的对应点肯定不会落在死区之内（实际上它是由原落在死区内的点沿等驻波圆顺时针旋转900而得到的对应点），因此就可以利用另外两个电纳调配器构成的双并联电纳调配器进行匹配了。总之，三并联电纳调配器不存在死区，可对任意负载进行调配。
2.8 有损耗的传输线
前面我们着重研究的是无损耗的均匀传输线,认为这些传输线是由理想导体和理想介质组成的,电磁波沿线传输时,其幅度保持不变,而仅有相位的变化;但实际的传输线中的导体和介质并不是理想的,因此存在着一定的损耗,另外若传输线上有反射时,还存在反射损耗,传输的效率会降低。电磁波在这种有耗线上传输时,振幅沿传播方向按指数规律衰减的，换言之，有耗线上电磁波的传播常数 为复数，即 ， 和 值可有式（2.5）给出。本节主要介绍有耗线上传输的功率、效率以及损耗的计算。
1．有耗线上传输的功率和效率
在微波情况下， , ,式(2.5)可进一步简化为
由上式可得
(2.56a)
(2.56b)
式中 为传输线的特性阻抗, 。上式说明有耗线的衰减常数有两项,第一项 与导体的电阻损耗有关,可看成由于不是理想导体产生的损耗;第二项 又与线间介质损耗有关。相位仍然与无耗时相同。
在有耗线上沿线传输的电压和电流分布为
（2.57a）
(2.57b)
由上式可求得传输功率为
(2.58)
设传输线长度为 ,则有耗长线始端的入射功率为
(2.59)
将z=0代入式(2.58),便可得负载吸收的功率为
(2.60)
因此有耗长线的传输效率为
(2.61)
若负载与传输线相匹配,则 ,传输效率为最大
(2.62)
由此可知,线越长、衰减系数越大，传输效率则越低。
2. 传输线的损耗
传输线的损耗包含有两个方面:一是传输线自身的导体损耗和介质损耗;二是因传输线上存在反射而引起的反射损耗。
(1) 导体损耗
导体损耗是由于导体的电导率 为有限值时,在高频电场的作用下产生的电流在导体上流动时所引起的电阻损耗,一般情况下转化为热损耗形式。
下面导出由于导体损耗而产生的衰减常数 的计算方法，这在后面第3章将会用到。
当有损耗时，传播常数 ，设波沿+z方向传输，其场的振幅按 的规律衰减，所以传输功率按 规律衰减，即
(2.63)
式中 是待定的衰减常数。若定义沿线单位长度上的功率损耗为 ，则
(2.64)
由电磁场理论可知
(2.65)
式中 为导体的表面电阻, 为流过导体表面的面电流密度, 为导体表面磁场的切向分量,上式积分c为传输线横截面的周界。
余下的问题是计算通过微波传输线的功率P(z),这里仍用理想情况下传输的功率来代替,由电磁场理论可知
(2.66)
式中 分别电场和磁场的横向分量(即垂直于传输方向横截面上的电场和磁场),积分对横截面S进行。这样对具体的微波传输线而言，在已知场解以后，便
可求得导体损耗引起的衰减常数 的值。
(2) 介质损耗
介质损耗指在导体周围所填充的介质对电磁波的能量吸收而造成的损耗。介质损耗也包含两个方面：一是在高频场的作用下介质被极化而产生的阻尼作用，具体表现为其介电常数不再是实数而为复数，即 ；另一个是由于介质不是理想介质其电导率不为零而引起的。就宏观而言，不管由那种因素造成的损耗，我们都可以用介质的损耗角这一物理量来描写它。损耗角 与电导 有如下的关系
(2.67)
由式(2.56a)
(2.68)
式中 为介质的相对介电常数, 为电磁波在介质中的工作波长。
(3) 传输线的功率损耗
传输线的功率损耗定义为始端入射功率与负载吸收的功率之比,即
(dB) (2.69)
上式表明,反射系数和衰减常数都会引起传输功率的下降。在行波状态下，上式为
因此，行波状态下功率损耗仅与传输距离和衰减常数有关。
习题
2.1 若无畸变传输线的分布参数满足
试证明其衰减常数 和波的相速 均与频率无关。
2.2 试证明传输线上相距 的两点的阻抗是互为倒数的。
2.3 试证明无耗传输线的归一化负载阻抗满足下式
式中 为驻波系数， 为第一个电压波节点到负载的距离。
2.4 计算其值为 的纯电阻负载和纯电感负载的反射系数。 为传输线的特性阻抗。
2.5 试证明当信号源内阻与传输线阻抗相等时，入射波电压的振幅等于信号源电压振幅之半。
2.6 已知传输线分布参数电路如图2-19所示，试求图中各电路入口处的输入阻抗。
2.7 已知无耗线分布参数电路如图2-20所示,试求图中各段的状态参量。
2.8 已知无耗线的特性阻抗 ,负载阻抗 ,令 ,试求终端反射系数、传输线上驻波系数和始端的输入阻抗。
2.9 完成下列圆图基本练习
(1) , , , 求
(2) , , , 求
(3) , , 求
(4) , , 要求 , 求 、
2.10 已知传输线特性阻抗 ,线上驻波系数 ,第一个电压波节点距离终端负载10mm,相邻两波节点间距50mm, ,利用圆图求负载阻抗和输入阻抗。
2.11 已知传输线电路如图2-21所示。设工作波长 ，利用圆图求端口 的输入阻抗。
2.12 已知传输线特性阻抗 ,负载阻抗 ,利用圆图求距离终端 处的输入阻抗。
2.13 已知传输线特性阻抗 ，测得电压最小点距离负载 ，驻波系数 ，利用圆图求负载阻抗和负载导纳。
2.14 设归一化负载导纳(1) ;(2) ,在间隔 的定点上并联两个容性电纳 和 ,如图2-22所示。问：能否使电路得到匹
配？若能，求出 和 的归一化值。
2.15 传输线归一化负载导纳为 ,用两个并联短路线调匹配,其位置如图2-23所示。试分析 的匹配盲区，并在圆图上用斜线标出。如并联短路线的长度小于 时匹配盲区又如何。 |
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发表于 2009-3-21 10:28:44
糗死了
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