大型连载：信号处理原理--清华教程（最新更新）

斯嘉丽

1.3.2 正弦信号

正弦信号和余弦信号二者仅在相位上相差，经常统称为正弦信号，其表达式一般写作。下图中是正弦信号和余弦信号的一个片段，可以看出它们之间只有相位差，而波形则是一样的。

这种信号的几个参数分别表示什么意思？这是我们以前学过的。其中，K是正余弦信号的幅度，是正余弦信号的角频率，是信号的初相位(显然，正弦信号的初相位为零，而余弦信号的初相位为。这些三角函数的很重要的参数，决定了函数的波形。

正弦信号是周期信号，其周期与角频率和频率之间的关系满足下列关系式

即正弦信号的周期蕴含在它的参数中。

我们已经知道指数信号的一个重要性质----信号经过微分或积分后仍然是原类型的信号，其实正弦信号也有类似的特性，即正弦信号对时间的微分与积分仍为同频率的正弦信号(大家要注意，这里的"正弦信号"是一种统称)。这一点，我们在学完高等数学的微分以及积分后，就应该知道的。

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1.3.3 复指数信号

复指数信号的函数表达式为 。其中是复数s的实部，为其虚部。

借助欧拉公式将复指数信号的函数表达式展开，可得



欧拉公式我们在其它课程中已经学习过，不知道大家是否记得？下面给出欧拉公式

此结果表明，一个复指数信号可以分解为实部、虚部两部分。实部含余弦信号，而虚部则是正弦信号。

由上面的关系式，我们常将正弦信号和余弦信号借助于复指数信号来表示。利用欧拉公式可推导出

这种替换写法有什么意义呢？当我们学习到信号的傅里叶级数展开时会知道，函数(信号)可以展开成正弦函数(信号)的无穷级数表示，而如用复指数函数(信号)来改写该级数，则函数(信号)可以用复指数函数(信号)的无穷级数来表示，从而不仅使表达式更为简捷，带来了复指数信号的优点，而且还便于从傅里叶级数向傅里叶变换的推广。这些，我们将在第二章的相关内容中接触到。
不仅如此，利用复指数信号可以使许多运算和分析得以简化。在信号分析理论中，复指数信号是一种非常重要的基本信号。

前面我们已经说过，引入复信号是为了方便研究。虽然实际上不能产生复指数信号，但是可以利用复指数信号来描述各种基本信号，如指数信号，正弦或余弦信号，直流信号。

复指数信号的指数因子的虚部w表示正弦与余弦信号的角频率，而实部s则表示正弦与余弦函数振幅随时间变化的情况：（1）若> 0，正弦、余弦信号是增幅振荡；（2）若＜0，正弦及余弦是衰减振荡。

复指数函数有三种特殊情况：
(1) 当＝0时，即s为虚数，则正弦和余弦信号是等幅振荡；
(2) 当＝0时，即s为实数，则复指数函数成为一般的指数信号；
(3) 最后，若＝0且＝0，即s等于零，则复指数信号的实部和虚部都与时间无关，成为直流信号。
1.3.4 高斯信号(钟形脉冲信号)

高斯信号的函数表达式是,其波形如图所示。

由于高斯信号的形状很象一口钟，因此也称为钟形脉冲信号。

该信号在随机信号分析中有重要地位。正态分布的密度函数就是一种高斯函数，我们在对语音信号处理的时候，会大量接触这类信号。 1.3.5 Sa(t)信号(抽样信号)

我们把正弦函数sin(t)与自变量t的比值称为抽样函数或Sa(t)函数，其表达式为

Sa(t) = sin(t)/t
其波形如图所示。
 

要注意这个信号在零点处的取值。分式的上下都为零了，怎么办呢？

当t=0时，Sa(t)函数的分子与分母都是零，借助于罗彼塔法则求得，Sa(0) = 1。当t  0时，随着t的绝对值的增大，函数值的绝对值振荡着不断减小，逐渐趋向于零。

由于正弦函数sin(t)在 时函数值为0，因此Sa(t)函数在点处函数值为0。通常，我们把相邻两个过零点为端点的区间称为过零区间。

显然，除原点附近的过零区间宽度为2外，Sa(t)函数的其他过零区间宽度均为。

下面，我们来看看Sa(t)信号还有哪些性质？

Sa(t)函数具有下列性质：
1.Sa(t)函数是偶函数。这一点既可以从信号的波形看出，也可以根据偶函数的性质进行证明。
2.
3. 。由前两条性质，本性质很容易证明。

鉴于我们在后续章节中还将学习对信号的抽样，为避免与信号经抽样后所得"抽样信号"（或取样信号、采样信号）相混淆，以后我们将只称Sa(t)信号或Sa(t)函数。

　　另外还有一个类似的函数称为sinc(t)函数，其表达式为

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　前面我们学习了一些比较典型的普通信号及其性质，初步建立了对信号的概念。下面，我们从信号运算的角度，认识信号。

信号运算在信号的分析和处理中常会遇到，是整个信号处理过程的核心。

为了便于理解掌握，我们可以把信号的运算大致分一下类，将信号的加减乘除等运算归到"四则运算"一类中，把信号的平移、尺度和反褶称为是对信号的"波形运算"(目的是想着重强调运算对信号波形的变化作用)，把信号的积分和微分称为"数学运算"(因为这样更便于理解这两类运算)，而将卷积与相关称为是信号之间的"相互运算"(目的是想强调信号之间的相互关系)。

特别要说明指出的是：这样分类的原则与目的，仅仅是考虑到便于学习和理解这些不同的信号运算，并不是很严谨的。

1.4.1 四则运算

我们先来看看对如何对信号进行常规的四则运算，也就是加减乘除运算。

信号的四则运算包括：信号相加，信号相减，信号相乘，信号相除。其运算方法是：运算结果得到一个新信号，新信号在定义域上各点的取值，是参与运算的两个信号在对应点取值进行相应运算的结果。

也就是说：若两个信号相加，则结果信号的取值是参与运算的两信号对应点取值相加，若是相乘运算，则是对应点取值相乘。依此类推。

我们可以发现：信号的四则运算与函数的运算实际上一致的，只不过在这里，参与运算的函数以及运算的结果函数一般都有比较明确的物理含义而已。

需要指出的是：对于信号相除，如果分母在某点处为零，则运算后的结果信号在该点的取值，要取决于分子信号在该点是否也为零。如果分子信号在该点取值为零，而又可以根据罗彼塔法则求出结果，则即为最后的结果信号值。如果分子信号在该点的取值不为零，则最后的结果信号在该点上没有定义。

　　因此，信号在运算后，所得信号的定义域与原信号的定义域可能会不一致。

下面以sin(t)、sin(8t)为例，说明信号相加、相乘运算
(1) 已知sin(t)的波形如下：

(2) 已知sin(8t)的波形如下：

(3) 它们相加的结果为：sin(t) + sin(8t)；相应的波形如下：

(4) 则它们相乘的结果为：sin(t) * sin(8t)；相应的波形如下：
　　　　
请大家留意一下乘积信号的波形与两个原信号的波形之间的关系。你会发现好象是sin(8t)的波形变化受到了sin(t)的约束。这种现象称为"调制"。在通信系统中，信号从发射端传输到接收端，这实现信号的传输，往往需要进行调制和解调。这是因为：

(1) 无线电通信系统是通过空间辐射方式传送信号，根据电磁波理论，对于语音信号来说，相应的辐射天线尺寸要在几十公里以上，实际上这是不可能制造出来的。而调制过程则将信号的频谱搬移到任何所需的较高频率范围，这样就容易以电磁波形式辐射出去。

(2)如果不进行调制而是把被传送的信号直接辐射出去，那么各电台所发出的信号频率就会相同，它们混在一起，收信者将无法选择所要接收的信号。而调制作用的实质是把各信号的频谱搬移，使它们互不重叠地占据不同的频率范围，也即信号分别托附于不同频率的载波上，接收机就可以分离出所需频率的信号，不致互相干扰。

如何进行频谱的搬移，我们在学习到第二章就会明白了。

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1.4.2时移、尺度与反褶运算

这几类信号运算，都是在对函数的自变量进行变换，或加上一个常数偏移(时移)，或乘上一个常数作比例系数(尺度)，或改变变量的符号(反褶)。它们的作用效果能够从原信号的波形变化上很直观地看出。

信号的波形是原信号f(t)的波形沿时间轴整体平移的结果，我们称这一过程为信号的时移。时移量为，方向与的符号有关。
下图是关于信号时移的两个示例。一个左移，另一个是右移。我们发现，时移操作不会改变信号的波形形状，只改变了它在时间轴上的位置。
　　
如果是正的，则时移
，则向左平移。如果新信号是，则结论又正好相反。当向右平移时，通常是使得信号发生的时刻延迟了，所以有时也称此运算操作之为"延时"，而将参数称为"时延"。

　　如果将信号f(t)的自变量t乘以一个正的实系数a，则新信号f(at)的波形与原信号的波形有压缩（a>1）或扩展（a

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1.4.3积分与微分运算                                                 对信号也可以进行积分与微分运算。                                                                         可以从两个方面来理解信号的积分与微分运算。                                                                         一方面，将信号作为函数来理解，则可以直接把高等数学中所学的积分和微分运算的方法与性质拿过来，这些信号运算和我们学过的信号的其它运算一样，就没有什么特别之处了，无非是些对函数的某种操作而已。                                                 另一方面，如果把信号看成是有着具体的物理背景，则在理解积分与微分运算时，同样应将这些运算与具体的物理意义对应起来来理解。                         信号f(t)的积分为，微分为                         。为了叙述方便，有时也把微分和积分运算看成是算子，并分别记为                                                                         这里，算子的操作对象是函数，结果也是函数，当操作对象是函数f时，微分和积分算子操作的结果就是 ，写成含有自变量表示的形式就是。这样，对一个函数连续n次施加微分和积分运算的算子可以分别表示为。                          。                                                                                                1.4.4 卷积运算                                                 信号的卷积运算是信号处理领域中最重要的运算之一。随着对信号与系统理论研究的深入，特别是计算机技术的不断发展，不仅使卷积方法在很我领域得到了很广泛的应用，而且卷积运算的逆运算---反卷积的问题也受到了越来越大的重视和应用。                                                 比如，在语音识别、地震勘探、超声诊断、光学成像、系统辨识及其他诸多信号处理领域中，甚至可以说卷积与反卷积的问题无处不在，而且很多的问题，都是有待深入研究的课题。                                                                         所以，大家要切实理解和掌握好卷积分运算的各个方面，打好牢固的基础。下面，我们来看看卷积的定义是怎样的。                                                 信号的卷积积分（简称卷积），定义为：                                                 简记为，其中的星号是卷积运算符。                        注意不要与我们在编写计算机程序时所用的乘法的表示符号搞混了。在信号处理课程里，乘法往往是用居中的点来表示的，或者干脆不写居中的点，而直接将要进行乘积运算的信号(包括直流信号---它是一个常数)连在一起写。                                                 信号的卷积运算对应着一定的物理背景，这要在我们进一步学习了关于系统的激励与响应的关系之后，才能更深入地理解。                                                 不仅如此，信号的卷积运算还对应着一定的几何解释。从定义式我们可以看出：(1) 在积分式中，信号自变量改变了符号，这对应在几何波形上，就是将信号进行了反褶变换；(2)                         并且，信号f2的波形位置与积分变量的取值有关，积分变量在积分限内的不断变化，将导致信号的波形发生移动，即是对它不断进行平移操作；(3)                         最后，每当信号处在一个新位置，都要与信号f1相乘，且依据积分的定义，要将这些乘积加起来，而其结果实际上对应着两信号波形相交部分的面积。所以，卷积运算可以用几何图解方式来直观求解。                                                 下面我们来说明如何用它的几何意义来求解两信号的卷积。                                                 将信号的自变量改为，信号变为。对任意给定的，卷积的计算过程为：                         (b) 将 关于ｒ进行反褶得到                         ；                         (c) 再平移至ｔ0得到；                         (d) 与相乘得到                         ；                         (e) 对ｒ进行积分得 ，即                         ；                                                 不断变化，就可以得到s(t)。                                                 从上面的计算步骤可以看出：卷积计算的几何求解可以通过对信号进行"反褶、平移、相乘、积分"等运算来完成。下面我们以一个实例进一步阐述信号之间卷积运算过程的几何解释。                                                                         例：下面是矩形脉冲信号e(t)的波形和三角信号h(t)的波形，试根据卷积运算的几何解释求它们的卷积。                                                 矩形脉冲信号e(t)                                                                         三角脉冲信号h(t)                                                                        　　解：下面按照卷积运算的几何解释以图解方式来求解。                         (1) 首先将h(t)反褶                                                                                                                          　　(2) 然后将h(t)沿时间t轴从左向右平移                                                                                                                          　　(3) 在平移过程中，将反褶后的h(t)与e(t)相乘相加(积分)                         根据h(t)与e(t)之间的位置关系，分阶段求积分结果。也就是两信号波形相交部分的面积随时间变换的函数关系。                         (a)                         这时，两个信号的波形没有相交，也即两信号在此区间内的卷积为零。                                                                                                 (b)                         在此区间内，两信号相交的部分组成一个三角形。在确定了积分的上限和下限后，可以计算出相应的卷积结果如下：                                                                                                                         上图中的黄色三角形表示两信号的相交部分，其面积随时间的变化关系即为卷积在此区间内的结果。                                                 (c)                         在此区间内，两信号相交的部分组成了一个梯形，该梯形的面积随着三角波的右移而不断增加，其相应的卷积结果如下：                                                                                                                         同样的，上图中的红色梯形表示两信号的相交部分，其面积随时间的变化关系即为卷积在此区间内的结果。                                                                        　　(d)                         在此区间内，两信号的相交部分也是梯形，但面积将随时间不断减小，其卷积面积与时间的关系如下：                                                                                                                         同理，上图中的桔色梯形表示两信号的相交部分，其面积随时间的变化关系即为卷积在此区间内的结果。                                                                        　　(e)                         此时，两信号再一次远离，不再相交，所以卷积结果为零。                         e(t)*h(t)=0                                                 (4) 最后的卷积结果为：                         综合前面几步的结果，可以绘出下面的卷积的波形如下。                                                                         要强调指出的是，卷积作为信号的一种运算，其结果仍是一种信号，描述的是卷积过程中所得面积随时间的变化关系。

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那么，这种运算有哪些重要的性质呢？

下面我们来看看卷积运算的性质。

(a) 交换律
f(t)*h(t)=h(t)*f(t)
此性质可以根据变换积分变量法很容易地加以证明。

证明：


上式表明：在计算卷积积分时，保持不动，将反褶、平移后，乘积曲线下面的面积与不动，将反褶、平移后，乘积曲线下面的面积是相等的。

此性质表明，两信号在作卷积运算的时候，它们的前后次序是无关紧要的，可以互换，不会改变卷积的结果。　　(b) 分配律

卷积对加法的分配律是积分运算的线性的直接推论。利用积分运算的线性，可以容易地证明此条性质。

证明：



　　(c) 结合律


证明：



令 ，则 , 于是上式变为

变换积分次序，上式变成为





这条性质表明，当多个信号进行卷积运算时，可以随意进行结合，而不会改变结果。这条性质与数值的乘除运算的结合律是相通的。
　　(d) 卷积的微分

两个信号卷积的微分，等于其中任一信号的微分与另一信号的卷积，即
设y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)，则y'(t)=f(t)*h'(t)=h(t)*f'(t)。
本性质利用求导对于积分的特性，即可证明。
证明：


同理

(e) 卷积的积分
两个信号卷积的积分，等于其中任一信号的积分与另一信号的卷积，即


（f）尺度变换

若f(t)=f1(t)*f2(t), 则 ，其中a是实数。

最后，还需要说明的是，当卷积运算与冲激信号的特性相结合时，会产生很有用的结论。我们将在讲解冲激信号的性质时对此予以详细的讨论。
1.4.5相关运算

设和为能量信号，它们的互相关（或相关）运算定义为：






其中，上面两个式子中的右上标"*"，表示复数的共轭运算。从这些定义式，我们可以看出，相关运算的结果与信号的次序是有关的。

当时，一般也称这种运算为自相关运算，简记为

因为是自己和自己进行相关，所以次序就无所谓了。

另外，当f1(t)和f2(t) 均为实函数时，根据实数共轭运算的性质，可以将相关运算改写为：



此时，信号的自相关可以改写为

Lotusky

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偶然投影

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xueyw

讲得不错，楼主辛苦了